Dandelin Spheres证明圆锥截痕的焦点性质

2020-06-06 19:53浏览 : 265


目前实施的99课纲高中数学中,弱化了圆锥曲线的单元,所谓的「圆锥截痕」不再是必须教授的单元。各版本课本或数学教师在教授时也仅是简单的陈述平面与圆锥的截痕何时为圆、椭圆、抛物线或双曲线,基本上与课本採用的焦点定义方式无法连结,学生只是被动地接受老师所说的与模型所看到的曲线名称而已。

不过,藉由 Dandelin 球面的想法,我们可将圆锥截痕与焦点的定义方式连结,以一种较为简洁的形式,证明阿波罗尼斯在《锥线论》中所陈述与证明的性质。

所谓 Dandelin 球面为比利时的数学家与军事工程师 G. E. Dandelin(1794-1847)在一篇论文中所提出的概念,再加上另一位比利时天文学与数学家 A. Quetelet 的贡献。在论文中,Dandelin 利用与圆锥及平面相切的球,可以证明截痕的焦点性质。下面分别在椭圆、双曲线与抛物线的截痕中,利用 Dandelin 球面来证明:

\((1)\)  椭圆Dandelin Spheres证明圆锥截痕的焦点性质

平面 \(E\) 与圆锥截出一个椭圆 \(\Gamma\),在圆锥的内部,\(E\) 的上、下方各塞一个球,使得这两个球 \(S_1,S_2\) 分别与平面 \(E\) 及圆锥相切,假设 \)S_1\) 与平面 \(E\) 相切于 \(F_1\),\(S_2\) 与平面 \(E\) 相切于 \(F_2\),\(S_1\) 与圆锥相切得出一圆 \(C_1\),\(S_2\) 与圆锥相切得出一圆 \(C_2\)。

\(P\) 为 \(\Gamma\) 上任一点,连 \(\overline{PF_1}\)、\(\overline{PF_2}\)。

若过 \(P\) 的一条母线分别与圆 \(C_1\) 与 \(C_2\) 相切于 \(E_1\) 与 \(E_2\) 两点,

因为 \(\overline{PF_1}\) 与 \(\overline{PE_1}\) 为球 \(S_1\) 的切线段长,所以 \(\overline{PF_1}=\overline{PE_1}\);

而 \(\overline{PF_2}\) 与 \(\overline{PE_2}\) 为球 \(S_2\) 的切线段长,所以 \(\overline{PF_2}=\overline{PE_2}\)。

因此 \(\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{PE_1}+\overline{PE_2}=\overline{E_1E_2}\),而 \(E_1E_2\) 为两球 \(S_1\)、\(S_2\) 间的公切线段长,为一定值,与 \(P\) 无关。也就是说,椭圆上任一点 \(P\),到两固定点 \(F_1,F_2\) 的距离和为一定值,并且此椭圆截痕的焦点为这两个球面与平面的切点。

\((2)\)  双曲线

Dandelin Spheres证明圆锥截痕的焦点性质平面 \(E\) 与圆锥截出双曲线 \(\Gamma\),在圆锥的上下部份各塞一个球,使得这两个球 \(S_1,S_2\) 分别与平面 \(E\) 及圆锥相切,假设 \(S_1\) 与平面 \(E\) 相切于 \(F_1\),\(S_2\) 与平面 \(E\) 相切于 \(F_2\),\(S_1\) 与圆锥相切得出一圆 \(C_1\),\(S_2\) 与圆锥相切得出一圆 \(C_2\)。\(P\) 为 \(\Gamma\) 上任一点,连 \(\overline{PF_1}\)、\(\overline{PF_2}\)。

若过 \(P\) 的一条母线分别与圆 \(C_1\) 与 \(C_2\) 相切于 \(E_1\) 与 \(E_2\) 两点,

因为 \(\overline{PF_1}\) 与 \(\overline{PE_1}\) 为球 \(S_1\) 的切线段长,所以 \(\overline{PF_1}=\overline{PE_1}\);

而 \(\overline{PF_2}\) 与 \(\overline{PE_2}\) 为球 \(S_2\) 的切线段长,所以 \(\overline{PF_2}=\overline{PE_2}\)。

因此 \(\left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=\left|\overline{PE_1}-\overline{PE_2}\right|=\overline{E_1E_2}\)

而 \(E_1E_2\) 为两球 \(S_1,S_2\) 间的公切线段长,为一定值,与 \(P\) 无关。也就是说,双曲线上任一点 \(P\),到两固定点 \(F_1,F_2\) 的距离差为一定值,并且此双曲线截痕的焦点为这两个球面与平面的切点。

\((3)\)  抛物线Dandelin Spheres证明圆锥截痕的焦点性质

平面 \(E\) 与圆锥截出一抛物线 \(\Gamma\)(平面 \(E\) 与抛物线的一条母线平行),我们可以在圆锥内塞一个球,使得这个球 \(S\) 分别与平面 \(E\) 及圆锥相切,假设 \(S\) 与平面 \(E\) 相切于 \(F\),\(S\) 与圆锥相切得出一圆 \(C\),圆 \(C\) 所在的平面为 \(E’\),\(E\) 与 \(E’\) 的交线为 \(L\)。设 \(P\) 为 \(\Gamma\) 上任一点,连 \(\overline{PF}\)。

过 \(P\) 作 \(L\) 的垂线,垂足为 \(H\),又 \(P\) 点在平面 \(E’\) 的垂足为 \(K\),过 \(P\) 的一条母线与圆 \(C\) 交于 \(M\) 点,因为 \(\overline{PF}\) 与 \(\overline{PM}\) 为球 \(S\) 的切线段长,所以 \(\overline{PF}=\overline{PM}\);

若此圆锥的轴与母线的夹角为 \(\alpha\),在 \(\Delta PKH\) 与 \(\Delta PKM\) 中,

\(\angle PKH=\angle PKM=90^\circ\),\(\angle KPH=\angle KPM=\alpha\),\(\overline{PK}=\overline{PK}\)

所以 \(\Delta PKH\cong \Delta PKM\),可得 \(\overline{PH}=\overline{PM}\),故 \(\overline{PF}=\overline{PH}\)

也就是说,\(E\) 与 \(E’\) 的交线 \(L\) 为此抛物线截痕的準线,球面 \(S\) 与平面的切点 \(F\) 为此抛物线的焦点,那幺  \(\overline{PH}\) 为抛物线上一点 \(P\) 到準线 \(L\) 的距离,等于 \(P\) 点到焦点 \(F\) 的距离。


参考文献


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